Родился 9 марта 1963 г. в Москве.
В 1981 г. поступил в Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова на философский факультет. В 1986 г. с отличием окончил МГУ. В 1986–1988 гг. учился в аспирантуре философского факультета МГУ. В 1993 г. защитил кандидатскую, в 1999 — докторскую диссертации.
С 1988 г. работает в Московском университете. C 1988 г. — ассистент, с 1991 г. — старший преподаватель философского факультета МГУ. С 1993 г. непосредственно участвовал в развитии научного и учебного направления «Политология», введенного в Реестр специальностей страны в 1989 г. В 1994–2000 гг. работал доцентом отделения политологии философского факультета МГУ (кафедра политического процесса России).
В 2001 г. возглавил кафедру государственной политики отделения политологии философского факультета МГУ, с 2001 г. — профессор Московского университета.
10 сентября 2008 г. приказом ректора Московского университета академика В. А. Садовничего был назначен деканом-организатором факультета политологии МГУ. На образованном факультете возглавил кафедру истории и теории политики. В 2012 г. Учёным советом Московского университета избран на должность декана факультета политологии МГУ.
А. Ю. Шутов является главным редактором научного журнала «Вестник МГУ. Серия 12. Политические науки» и членом редколлегии научных журналов «Вестник МГУ. Серия 18. Управление», «Сравнительная политика».
Председатель Федерального учебно-методического объединения в сфере высшего образования по укрупненной группе специальностей, направлений подготовки (УГСН) 41.00.00 «Политические науки и регионоведение».
В 2013 г. принял активное участие в учреждении Российского общества политологов, вошел в Президиум этой профессиональной организации, объединившей большую часть политологической корпорации России. В 2014 г. избран Сопредседателем Российского общества политологов.
В 2022 г. избран членом-корреспондентом Российской академии наук по Отделению историко-филологических наук.
Под научным руководством А. Ю. Шутова подготовлены 17 кандидатов и 2 доктора наук.
Указом Президента Российской Федерации награжден медалью ордена «За заслуги перед Отечеством» II степени.
Указом Президента Российской Федерации награжден Орденом Дружбы за заслуги в научно-педагогической деятельности, подготовке квалифицированных специалистов и многолетнюю добросовестную работу.